Инверзија

Инверзија и права

* Шта може бити слика праве при инверзији $ψ_{k}$ у односу на дати круг $k$ ?
Ако права садржи центар инверзије, онда се она пресликава у саму себе, а ако не садржи центар, онда се пресликава у кружницу која садржи центар. Прецизније:

* Ако је $ψ_{k}$ инверзија у односу на дати круг $k(O,r)$ и $p$ било која права у равни $Е^{2}$ тада важи:
a) ако тачка $O$ припада правој $p$ , тада је $ψ_{k} (p) = p$
б) ако тачка $O$ није на правој $p$ и ако је $N$ ортогонална пројекција тачке $O$ на праву $p$ ,тада је
$ψ_{k} (p) = p'$ , где је $p'$ круг пречника $ON'$ без тачке $O$ , где је $N' = ψ_{k} (N)$ .
Докажимо ово тврђење:
a)

Нека је

А

тачка на правој

p

А' = ψ_{k} (А)

. Тада су тачке

O

А

А'

колинеарне, па

А'

∈

p

и по дефиницији је

|ОА|·|ОА'|= r^{2}

. Дакле, све тачке праве

p

сликају се у тачке на овој правој, па се права

p

слика сама на себе.

б)

Нека је

М

тачка праве

p

М

≠

N

ψ_{k} (М) = М'

. Како је

|ОN|·|ОN'|= r^{2}

|ОM|·|ОM'|= r^{2}

добијамо да важи

|ON'|:|OM'| = |OM|:|ON|

.
Користећи још да је ∠

M'ON'   =

∠

NOM

закључујемо да су △

N'OM'

и △

MON

слични па је ∠

ОM'N' = 90

°.
Одавде следи да тачка

М'

припада кругу

p'

чији је пречник

ОN'

|ОN'| = (|OM|·|OM'|):|ON| = r^{2} : d

, где је

d

растојање центра инверзије од праве

p

.
Приметимо да је тангента

t

тог круга у тачки

О

паралелна правој

p

* Користећи претходни доказ можемо конструисати слику праве

p

при инверзији

ψ_{k}

у односу на круг

k(O,r)

која не садржи тачку

О

.
Уочимо нормалу

n

n

∋

O

на праву

p

. Означимо пресечну тачку

p

∩

n = N

. Нека је

N' = ψ_{k} (N)

, њу знамо да конструишемо. Дакле, тражена слика је круг

p'

над пречником

ON'

Слично, користећи претходни доказ можемо конструисати слику праве

p

при инверзији

ψ_{k}

у односу на круг

k(O,r)

која садржи тачку

О

Пример

Нека је дат △ $ABC$ и круг $k(O,r)$ уписан у дати троугао. На основу претхoдних разматрања слике дужи
$AB$ , $BC$ и $CA$ у односу на круг $k$ су кругови:
$k_{1}$ - круг над пречником $OG$ ,
$k_{2}$ - круг над пречником $OE$ ,
$k_{3}$ - круг над пречником $OF$ ,
где су $E,F и G$ редом додирне тачке уписаног круга и страница
$BC$ , $АC$ и $AB$ .
Тада је слика тачке $A$ тачка $A' =$ $k_{1}$ ∩ $k_{3}$ и аналогно слика тачке $B$ je тачка $B' =$ $k_{1}$ ∩ $k_{2}$ и слика тачке $C$ je тачка $C' =$ $k_{2}$ ∩ $k_{3}$ .

Пол и полара

Нека је $ψ_{k}$ инверзија у односу на дати круг $k(O,r)$ , $P$ - произвољна тачка различита од $О$ и $P' = ψ_{k} (P)$ .
Свакој тачки $P$ из $Е^{2} \{0}$ одговара тачно једна права $p = π(P)$ која садржи тачку $P'$ и која је ортогонална на правој одређеној тачкама $О$ и $P$ . Ту праву називамо поларом тачке $P$ у односу на круг $k$ , а тачку $P$ називамо њенима полом.
Ако $P$ ∈ $k$ тада је $P = P'$ и $p$ је тангента на круг $k$ у тачки $P'$ .

Померањем тачке P видимо како се помера и њена полара.

Приметимо да је слика праве $p$ при иверзији $ψ_{k}$ круг $l$ са дијаметром $OP$ .
Посебно, ако је тачка $P$ ван круга $k$ , тада кругови $k$ и $l$ имају тачно две заједничке тачке $A$ и $B$ , и то су управо додирне тачке тангенти круга $k$ које садрже тачку $P$ .
При том је права $AB$ ортогонална на $OP$ и садржи тачку $P'$ , па је $π(P) = AB$ .
Aко је тачка $P$ у кругу $k$ , тада је њена инверзна слика $P'$ ван тог круга, па тада њена полара $p$ нема заједничких тачака са кругом $k$ .